Python小白的数学建模课-B4.，新冠疫情，SIR模型

新冠疫情自从2020年开始在全球范围内爆发以来，给全球的社会经济和人民的生活带来了巨大的冲击和困扰。为了更好地了解和预测疫情的发展趋势，数学建模成为了一种非常重要的手段。其中，SIR模型是一种经典的数学模型，用于描述传染病的传播过程。

SIR模型是基于流行病学研究理论的一种数学模型，它将人群按照感染状态划分为三个类别：易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）。这三个类别之间的相互转化是通过一些参数来描述的。

具体来说，SIR模型假设人群总数为N，将时间离散为t=1,2,3,...，则在每个时间点t，人群中的感染者数为I(t)，易感者数为S(t)，康复者数为R(t)。以Δt为时间间隔，我们可以通过以下的微分方程来描述SIR模型：

dS(t) / dt = - β * S(t) * I(t) / N

dI(t) / dt = β * S(t) * I(t) / N - γ * I(t)

dR(t) / dt = γ * I(t)

其中，β表示传染率，γ表示恢复率。第一个方程表示易感者的变化率，第二个方程表示感染者的变化率，第三个方程表示康复者的变化率。

SIR模型的基本假设是人群是均匀的，传染率和恢复率在整个疫情期间保持不变。当感染者恢复后，会进入到康复者状态，并具有持久的免疫力，不再感染。

为了使用SIR模型进行实际的疫情预测，我们需要确定模型中的参数。传染率β可以通过病毒的基本传播数R0来估计，R0表示一个感染者平均会传染多少个易感者。恢复率γ可以通过分析已有的康复时间来得到。

接下来，我们通过一个例子来演示SIR模型的应用。

假设某城市有100万人口，初始时刻只有1名感染者，其他人处于易感者状态。传染率β为0.5，恢复率γ为0.1，时间间隔Δt为1天。现在我们来预测在接下来的30天内，感染者和康复者的变化。

首先，我们需要初始化模型的参数和初始条件：

N = 1000000 # 总人口

I0 = 1 # 初始感染者数

S0 = N - I0 # 初始易感者数

R0 = 0 # 初始康复者数

β = 0.5 # 传染率

γ = 0.1 # 恢复率

T = 30 # 预测的天数

然后，我们可以使用欧拉方法或其他数值求解方法来逐步求解微分方程：

S = [S0] # 记录每天的易感者数

I = [I0] # 记录每天的感染者数

R = [R0] # 记录每天的康复者数

for t in range(1, T):

dS_dt = -β * S[t-1] * I[t-1] / N # 易感者的变化率

dI_dt = β * S[t-1] * I[t-1] / N - γ * I[t-1] # 感染者的变化率

dR_dt = γ * I[t-1] # 康复者的变化率

S_t = S[t-1] + dS_dt # 计算下一天的易感者数

I_t = I[t-1] + dI_dt # 计算下一天的感染者数

R_t = R[t-1] + dR_dt # 计算下一天的康复者数

S.append(S_t)

I.append(I_t)

R.append(R_t)

最后，我们可以绘制感染者和康复者的变化曲线：

import matplotlib.pyplot as plt

t = range(T)

plt.plot(t, I, label='Infectious') # 感染者的曲线

plt.plot(t, R, label='Recovered') # 康复者的曲线

plt.xlabel('Day')

plt.ylabel('Number of people')

plt.legend()

plt.title('SIR Model')

plt.show()

通过运行上述代码，我们可以得到预测的结果。在前期，感染者的数量会急剧增加，然后稳定在一个较高的水平。随着时间的推移，感染者的数量会开始减少，康复者的数量会逐渐增加，最终趋于稳定。

需要注意的是，SIR模型是基于一些假设和简化的前提条件，不一定能够完全反映实际的疫情情况。在实际使用中，我们需要根据具体情况进行参数的调整和模型的优化。

总结起来，SIR模型是一种经典的数学模型，用于描述传染病的传播过程。通过对易感者、感染者和康复者之间的相互转化进行建模，我们可以预测和研究疫情的发展趋势。然而，SIR模型也有其局限性，需要结合实际情况进行合理的调整和精确的参数估计。 如果你喜欢我们三七知识分享网站的文章， 欢迎您分享或收藏知识分享网站文章 欢迎您到我们的网站逛逛喔！https://www.37seo.cn/