Codeforces - tag::dp 大合集 [占坑 6   inf]

Codeforces - 动态规划(DP)大合集

介绍:

动态规划(Dynamic Programming,简称DP)是一种算法设计技巧,常用于解决具有最优子结构的问题。在算法竞赛中,DP是一种非常强大的工具,可以应用于许多问题,包括最长递增子序列、背包问题、图的最短路径等等。本文将介绍动态规划的基本原理、常见的DP问题以及一些解题技巧。

基本原理:

DP算法的基本思想是将问题划分为子问题,并将子问题的解保存起来,以避免重复计算。通过不断地求解子问题,最终得到原问题的解。

DP问题的求解过程通常由以下几个步骤组成:

1. 定义状态:确定需要求解的问题的状态,并定义状态变量。

2. 定义转移方程:确定状态之间的转移关系,并建立转移方程。

3. 初始化边界条件:确定初始状态的值或边界条件。

4. 递推求解:根据转移方程,通过递推计算得到最终解。

常见的DP问题:

1. 最长递增子序列(Longest Increasing Subsequence):给定一个序列,求其中最长的递增子序列的长度。

解决方法:通过维护一个数组dp,其中dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度。从前往后遍历数组,根据dp[i]的前面的元素更新当前dp[i]的值。

2. 背包问题(Knapsack Problem):给定一组物品的重量和价值,以及一个容量限制,求在背包容量限制下,如何选择物品使得总价值最大。

解决方法:通过维护一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示前i个物品在容量为j的背包中的最大价值。根据物品重量和价值的不同,可以采用0-1背包、完全背包或多重背包的方式求解。

3. 最长公共子序列(Longest Common Subsequence):给定两个序列,求它们的最长公共子序列的长度。

解决方法:通过维护一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示序列A的前i个元素和序列B的前j个元素的最长公共子序列的长度。根据序列元素是否相等,可以更新dp[i][j]的值。

解题技巧:

1. 状态压缩:对于一些二维DP问题,可以使用一维数组来压缩状态,减少空间复杂度。

2. 优化转移方程:对于一些转移方程较为复杂的问题,可以通过优化转移方程,减少计算量。

3. 滚动数组:对于一些状态只与前面几个状态有关的问题,可以使用滚动数组来减少空间复杂度。

案例说明:

1. 题目:Longest Increasing Subsequence

题目描述:给定一个序列,找到其中最长的递增子序列的长度。

输入:一个整数数组arr(数组长度不超过1000,元素范围在[-10^9, 10^9])

输出:一个整数,表示最长递增子序列的长度

示例输入:[10, 9, 2, 5, 3, 7, 101, 18]

示例输出:4

解题思路:采用对应的DP算法,维护一个dp数组,遍历数组,根据dp[i]的前面的元素更新当前dp[i]的值。最终返回dp数组中的最大值即可。

2. 题目:Knapsack Problem

题目描述:给定一组物品的重量和价值,以及一个容量限制,求在背包容量限制下,如何选择物品使得总价值最大。

输入:两个整数数组weight和value,分别表示物品的重量和价值(数组长度不超过1000,元素范围在[1, 10^9]);一个整数W,表示背包的容量限制(1 ≤ W ≤ 10^9)

输出:一个整数,表示背包中物品的最大价值

示例输入:weight = [1, 3, 4, 5], value = [1, 4, 5, 7], W = 7

示例输出:9

解题思路:通过维护一个二维dp数组,根据物品重量和价值的不同,采用0-1背包、完全背包或多重背包的方式求解。

总结:

动态规划是一种非常重要的算法设计技巧,在算法竞赛中经常遇到。通过合理地定义问题的状态,并建立转移方程,可以解决许多复杂的问题。掌握动态规划的基本原理和常见的DP问题,以及一些解题技巧,对于在Codeforces竞赛中取得好成绩非常有帮助。 如果你喜欢我们三七知识分享网站的文章, 欢迎您分享或收藏知识分享网站文章 欢迎您到我们的网站逛逛喔!https://www.37seo.cn/

点赞(49) 打赏

评论列表 共有 1 条评论

泪湿青衫 1年前 回复TA

起贝壳的生命来,我在这世间能停留的时间和空间,是不是更长和更多一点呢?是不是也应该用我的能力来把我所能做到的事情做得更精致更仔细更加地一丝不苟呢?

立即
投稿
发表
评论
返回
顶部