ZOJ1119(SPF)

ZOJ1119(SPF) 是一道经典的用于求解单源最短路径问题的算法题目。本文将从算法原理、实现方法和案例说明三方面，详细介绍该算法。

一、算法原理

SPF（Shortest Path Faster）算法也叫单源最短路径算法，是解决带权图单源最短路径问题的一种经典算法。它是Dijkstra算法的一种优化，也是Bellman-Ford算法的一种改进。其核心思想是利用贪心策略，以松弛操作为基础，逐步缩小顶点到源点的最短路径长度。

具体实现过程如下：

1. 初始化：将源点 s 到其它所有点，设路径长度为 INF，源点 s 到自身的路径长度为 0。

2. 核心步骤：以广度优先遍历的方式对图进行遍历，对于每个遍历到的点，以其邻居节点为基础，采取松弛操作，即若从 s 到 v 的距离加上 v 到 u 的距离小于从 s 到 u 的距离，则更新从 s 到 u 的最短距离。

3. 循环迭代：重复执行第2步，直到所有节点的最短路径长度都得到确定。

二、实现方法

SPF算法有多种实现方法，其中最简单明了的为队列优化实现，其基本思路如下：

1. 将源点s加入队列Q中，dist[s] = 0。

2. 取出队首顶点u，并判断该顶点是否可达，若不可达则跳过。

3. 对于u的每一个邻居顶点v：

a. 若 dist[v] > dist[u] + w(u,v)，则更新dist[v] = dist[u] + w(u,v)。同时，若v还没在Q里则将v加入队列中。

4. 重复执行2-3步骤，直到队列为空。

下面是队列优化实现SPF算法的C++代码示例：

```c++

#include

#include

#include

#include

using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;

const int MAXN = 100005, MAXM = 200005;

typedef struct Edge {

int from, to, w, next;

}Edge;

Edge e[MAXM];

int head[MAXN], cnt;

int dist[MAXN];

bool vis[MAXN];

int n, m;

inline void addedge(int u, int v, int w)

{

e[++cnt].from = u;

e[cnt].to = v;

e[cnt].w = w;

e[cnt].next = head[u];

head[u] = cnt;

}

inline void spfa(int s)

{

memset(vis, false, sizeof(vis));

memset(dist, INF, sizeof(dist));

queue q;

q.push(s);

dist[s] = 0;

vis[s] = true;

while (!q.empty())

{

int u = q.front();

q.pop();

vis[u] = false;

for (int i = head[u];~i;i = e[i].next)

{

int v = e[i].to;

if (dist[v] > dist[u] + e[i].w)

{

dist[v] = dist[u] + e[i].w;

if (!vis[v])

{

vis[v] = true;

q.push(v);

}

}

}

}

}

int main()

{

memset(head, -1, sizeof(head));

cin >> n >> m;

for (int i = 1; i <= m; i++)

{

int u, v, w;

cin >> u >> v >> w;

addedge(u, v, w);

}

spfa(1);

for (int i = 1; i <= n; i++)

cout << dist[i] << " ";

return 0;

}

```

三、案例说明

这里给出一个算法应用的例子——ZOJ1119(SPF)。

问题描述：

假设有一个有向图，每条边都有边权，求从给定的出发点到达终点的最短路径。

输入格式：

输入的第一行包含三个整数：点的数量n，边的数量m （1≤n≤1000，1≤m≤10000），出发点编号k。（1≤k≤n）

接下来m行每行包含三个整数x，y，z，表示从x到y有一条长度为z的有向边。

输出格式：

输出一行，表示从出发点到达终点的最短路径长度。

示例输入：

4 5 1

1 2 2

1 3 5

2 3 2

2 4 1

3 4 2

示例输出：

4

下面是该问题的AC代码，使用的是队列优化实现的SPF算法：

```c++

#include

#include

#include

#include

#include

using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;

const int MAXN = 1005, MAXM = 10005;

typedef struct Edge {

int from, to, w, next;

}Edge;

Edge e[MAXM];

int head[MAXN], cnt;

int dist[MAXN];

bool vis[MAXN];

int n, m, s, t;

inline void addedge(int u, int v, int w)

{

e[++cnt].from = u;

e[cnt].to = v;

e[cnt].w = w;

e[cnt].next = head[u];

head[u] = cnt;

}

inline void spfa(int s)

{

memset(vis, false, sizeof(vis));

memset(dist, INF, sizeof(dist));

queue q;

q.push(s);

dist[s] = 0;

vis[s] = true;

while (!q.empty())

{

int u = q.front();

q.pop();

vis[u] = false;

for (int i = head[u];~i;i = e[i].next)

{

int v = e[i].to;

if (dist[v] > dist[u] + e[i].w)

{

dist[v] = dist[u] + e[i].w;

if (!vis[v])

{

vis[v] = true;

q.push(v);

}

}

}

}

}

int main()

{

memset(head, -1, sizeof(head));

cin >> n >> m >> s;

for (int i = 1; i <= m; i++)

{

int u, v, w;

cin >> u >> v >> w;

addedge(u, v, w);

}

spfa(s);

cout << dist[n];

return 0;

}

```

通过以上两个例子可以看出，SPF算法在解决单源最短路径问题时效率高，适用于稠密图或只有负边权边的情况。在实现时使用队列优化可以大幅加速算法的执行速度。

综上所述，SPF算法不仅是解决单源最短路径问题的常见算法之一，也是学习算法优化的入门级算法之一。 如果你喜欢我们三七知识分享网站的文章， 欢迎您分享或收藏知识分享网站文章 欢迎您到我们的网站逛逛喔！https://www.37seo.cn/