ZOJ1119(SPF)

ZOJ1119，又称为SPF（Shortest Path Faster）算法，是求解单元最短路问题（Single-Source Shortest Path）的一种算法，可以在较短的时间内计算出单元最短路。本文将介绍SPF算法的原理、实现方法以及几个实际应用案例。

一、原理

SPF算法是Dijkstra算法的一种优化，其主要思想是引入了一个FIFO队列和一个距离数组d，来减少Dijkstra算法中多次松弛操作的时间开销。具体实现如下：

1. 初始化距离数组d，起点s的距离为0，其余点的距离为无限大。

2. 将起点s加入FIFO队列中。

3. 从FIFO队列中取出一个点u，对u的所有出边进行松弛操作，如果存在可优化的边（即从u到另一个点v的距离更短），则更新v的距离，并把v加入FIFO队列中。

4. 重复步骤3，直到FIFO队列为空。

5. 最终得到所有点到起点s的最短距离。

由于使用FIFO队列，保证了每个点只被扫描一次，因此SPF算法的时间复杂度为O(E)，其中E表示边数。

二、实现方法

下面以C++代码为例，介绍SPF算法的实现。

首先定义一个图的邻接表：

```cpp

const int MAXN = 100010;

const int MAXM = 200010;

struct Edge {

int to, w, next;

} e[MAXM << 1];

int head[MAXN], tot;

void addEdge(int u, int v, int w) {

e[++tot].to = v;

e[tot].w = w;

e[tot].next = head[u];

head[u] = tot;

}

```

然后定义SPF算法，包括了距离数组d、FIFO队列q和松弛操作relax：

```cpp

int dis[MAXN]; // 距离数组

bool vis[MAXN]; // 记录是否已经访问过

queue q;

void SPF(int s) {

memset(dis, 0x3f, sizeof dis); // 初始距离为无穷大

dis[s] = 0;

q.push(s);

while (!q.empty()) {

int u = q.front();

q.pop();

if (vis[u]) continue; // 如果已经访问过，则不进行任何操作

vis[u] = true;

for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) { // 对所有出边进行松弛操作

int v = e[i].to;

if (dis[v] > dis[u] + e[i].w) {

dis[v] = dis[u] + e[i].w;

if (!vis[v]) q.push(v); // 如果v未访问过，则加入FIFO队列中

}

}

}

}

```

最后，在主程序中调用SPF算法即可：

```cpp

int main() {

// 输入节点数n和边数m

int n, m;

scanf("%d%d", &n, &m);

// 输入每条边的起点、终点和权值

for (int i = 0; i < m; i++) {

int u, v, w;

scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);

addEdge(u, v, w);

}

SPF(1); // 计算起点1到其他点的最短距离

// 输出每个点到起点1的最短距离

for (int i = 1; i <= n; i++) {

printf("%d ", dis[i]);

}

return 0;

}

```

三、实际应用案例

1. 求解任意两点之间的最短路：对于每个起点，都可以使用SPF算法求解以该点为起点的单元最短路，从而求出任意两点之间的最短路。

2. 求解带负权边的最短路：如果图中存在负权边，不能使用Dijkstra算法，可以使用SPF算法求解单源带负权边最短路。需要注意的是，如果存在环路，最短路可能不存在。

3. 求解最小环：从某个点开始，使用SPF算法求解单元最短路，对于所有的边（u，v），如果dis[v] > dis[u] + w(u, v)，则可以得到一条更新路径，直到不再更新为止，这条路径上的所有边构成了一个环，即为图中的最小环。

四、总结

SPF算法是一种高效的求解带权图中单源最短路的算法，时间复杂度为O(E)，在实际应用中十分常见。需要注意的是，如果图中存在负权边，不能使用Dijkstra算法，可以使用SPF算法求解单源带负权边最短路。 如果你喜欢我们三七知识分享网站的文章， 欢迎您分享或收藏知识分享网站文章 欢迎您到我们的网站逛逛喔！https://www.37seo.cn/