博弈论基础知识:，巴什博奕+斐波那契博弈+威佐夫博奕+尼姆...

博弈论是数学分支之一，研究决策者之间的策略和结果。在博弈中，决策者的决策将直接影响对手的收益，因此博弈中需要寻找最优解策略。博弈论中有许多著名的博弈，如巴什博奕、斐波那契博弈、威佐夫博奕和尼姆等，下面我们将讲解这些博弈的基础知识、方法和案例。

1. 巴什博奕

巴什博奕，又叫三堆石子游戏，是一种简单而经典的博弈。它的规则如下：有三堆石子，数量分别为 $a,b,c$，每次操作可以从任意一堆石子中取出若干颗石子，但是取出的石子数必须大于 $0$，最后取完石子的人为输家。

对于这个博弈，我们可以使用逆向思维来求出最优策略。假设当前的局面为 $(a, b, c)$，那么我们可以列出如下的表格：

| | A | B | C |

|:-:|:--:|:--:|:--:|

| 1 | x | y | z |

| 2 | x | y | z |

| 3 | x | y | z |

其中 $x,y,z$ 分别代表从对应的堆中取出的石子数，而这些数都是非负整数。我们的目标是找到一组 $(x,y,z)$，使得 $a-x,b-y,c-z$ 其中至少有一个是 $0$。这样对应的决策者就能赢得游戏。

我们发现，在上述表格中的每一行，可以得到一个数 $s_i=x_i \text{xor} y_i \text{xor} z_i$，其中 $\text{xor}$ 代表异或运算。如果 $s_1=s_2=s_3=0$，那么后手必胜，否则先手必胜。

证明如下：假设 $s_1 \neq 0$，不失一般性，假设 $s_1=1$。那么我们就可以得到如下两个局面：

$$(a \oplus s_1, b, c) \text{ 和 } (a, b \oplus s_1, c)$$

因为 $s_1$ 是二进制下最高位为 $1$ 的数，所以 $a \oplus s_1 < a, b \oplus s_1 < b$。因此，无论下一步先手取哪一堆石子，后手都可以从另外两堆中取出足够的石子，使得新的局面满足 $s_2=s_3=0$，最终胜利。

2. 斐波那契博弈

斐波那契博弈是一种数学博弈，它的规则如下：两人轮流报数，第一个人报 $1$，第二个人报 $2$，以后每个人报的数都是前两个人报数之和（即第 $n$ 个人报数为 $f_{n-1} + f_{n-2}$，其中 $f_i$ 是斐波那契数列），最先报到或超过 $n$ 的人获胜。

比如，当 $n=10$ 时，两个人轮流报数，可能的情形是：

$$ 1,2,3,5,8,6,7,9,10$$

在这种情况下，最后报到 $10$ 的人是胜者。

斐波那契博弈也可以通过逆向思维求解。首先，我们可以列出当 $n=1,2,3,4,5,6,7,8$ 时，谁胜谁负：

| | 奇数位置 | 偶数位置 |

|:-:|:--------:|:--------:|

| 1 | 胜 | 败 |

| 2 | 败 | 胜 |

| 3 | 胜 | 胜 |

| 4 | 败 | 败 |

| 5 | 胜 | 胜 |

| 6 | 败 | 胜 |

| 7 | 胜 | 胜 |

| 8 | 败 | 败 |

我们发现，每隔三个数出现一次平局，而其余的数都是对称的，即如果 $n$ 是偶数，则奇数位置和偶数位置的输赢结果是相反的；如果 $n$ 是奇数，则两个位置的结果相同。因此，我们只需要判断 $n$ 是否是三的倍数来确定输赢。

3. 威佐夫博弈

威佐夫博弈是一种经典博弈，规则如下：有两个人，两个人面前有两堆石子，石子的个数分别是 $N$ 和 $M$。两人轮流取走若干个石子，可以从任意一堆石子中取，也可以从两堆中同时取，但每次取的石子数不能为 $0$，最后无法取走石子的人输。

相信许多人都玩过这个经典博弈，但它的解法却十分巧妙。对于任意一个 $(N,M)$ 的状态，我们可以通过如下方式将其转化为一个尽可能接近斐波那契数列的位置 $(F_i,F_{i+1})$：

$$F_i = \lfloor \frac{(3-\sqrt{5})(N+M)}{2} \rfloor,$$

$$F_{i+1} = \lfloor \frac{(3-\sqrt{5})(N+M)}{2} \rfloor + \lfloor \frac{\sqrt{5}-1}{2}(N-M)\rfloor.$$

其中的 $\lfloor \cdot \rfloor$ 表示向下取整。在转化之后，威佐夫博弈就变成了斐波那契博弈，如果 $(N,M)$ 对应的斐波那契数在两数之间，那么根据斐波那契博弈的结论，先手必胜，否则后手必胜。

4. 尼姆博弈

尼姆博弈，又称“石子取游戏”，是指有 $n$ 堆石子，每堆石子的数量为 $a_i$，两人轮流取石子。每次取的石子数必须是至少 $1$ 颗，至多不能超过这堆石子的剩余数量。最后无法取石子的人输。

尼姆博弈还有一个非常重要的结论，称为尼姆博弈的定理：

任何一个尼姆博弈状态的必胜/必败性都可以通过将各堆石子数量的二进制下的每一位相加后算出来。如果结果为 $0$，则为必败态，否则为必胜态。

比如，考虑如下的游戏局面：

$$\begin{aligned} 1\quad 2\quad 3\quad 4\quad &(\text{数目}) \\ \text{3}\quad \text{5}\quad \text{7}\quad \text{9}\quad &(\text{二进制}) \\ \text{11}\quad &(\text{二进制下每位相加}) \end{aligned}$$

在这个局面下，$11$ 的每位上的数字都是奇数，因此它的二进制下每位相加的结果是 $3$，而 $3$ 是一个必胜态。因此，先手可以通过合理的操作取走一些石子，最终获得胜利。

综上所述，巴什博奕、斐波那契博弈、威佐夫博弈和尼姆博弈都是经典的博弈论问题。在实际应用中，经常涉及到一些变种，对博弈论的了解将有助于我们更好地解决这些问题。 如果你喜欢我们三七知识分享网站的文章， 欢迎您分享或收藏知识分享网站文章 欢迎您到我们的网站逛逛喔！https://www.37seo.cn/