matlab中的norm函数

MATLAB中的norm函数可以计算向量或矩阵的范数，即向量的长度或矩阵的大小。

函数语法

1. 计算向量的范数

norm(x)

计算向量x的默认2-范数，即欧几里得距离，公式为sqrt(sum(abs(x).^2))。

norm(x,p)

计算向量x的p-范数，p≥1。p=Inf时计算向量的无穷范数，即在向量元素绝对值中的最大值，公式为max(abs(x))。

2. 计算矩阵的范数

norm(A)

计算矩阵A的默认2-范数，即A的谱半径，即矩阵A的最大奇异值(svds)。

norm(A,p)

计算矩阵A的p-范数，p=1,2,Inf或'fro'。其中，p=1时，计算矩阵的列和范数，公式为max(sum(abs(A)))；p=2时，计算矩阵的谱范数，公式为sqrt(max(diag(A'*A)))；p=Inf时，计算矩阵的行和范数，公式为max(sum(abs(A')))；p='fro'时，计算矩阵的Frobenius范数，公式为sqrt(sum(sum(abs(A).^2)))。

使用方法

例如，计算向量x=[1,2,3]的2-范数和无穷范数，以及矩阵A=[1,2;3,4]的1-范数、2-范数、无穷范数和Frobenius范数：

```matlab

x = [1, 2, 3];

p2 = norm(x);

pinf = norm(x, Inf);

A = [1, 2; 3, 4];

p1 = norm(A, 1);

p2 = norm(A, 2);

pinf = norm(A, Inf);

pfro = norm(A, 'fro');

```

输出结果为：

```matlab

p2 = 3.7417

pinf = 3

p1 = 6

p2 = 5.4645

pinf = 7

pfro = 5.4772

```

案例说明

1. 使用2-范数进行余弦相似度计算

余弦相似度是一种常用的相似度度量方法，用于度量两个向量在向量空间中的相似性，其计算公式为cos(x,y)=x·y/||x||_2||y||_2，其中x、y为向量，||x||_2和||y||_2分别为向量x和y的2-范数。

例如，计算向量x=[1,2,3]和y=[2,3,4]之间的余弦相似度：

```matlab

x = [1, 2, 3];

y = [2, 3, 4];

cos_sim = dot(x, y) / (norm(x) * norm(y));

```

输出结果为：

```matlab

cos_sim = 0.9926

```

2. 使用Frobenius范数计算矩阵距离

矩阵距离是用于度量两个矩阵在矩阵空间中的相似性的一种方法，常用的方法包括Frobenius范数、核范数等。其中，Frobenius范数计算方法比较简单，适用于稠密矩阵的距离计算，其计算公式为dist(A,B) = ||A-B||_F，其中A、B为矩阵，||·||_F为矩阵的Frobenius范数。

例如，计算矩阵A=[1,2;3,4]和B=[2,3;4,5]之间的Frobenius距离：

```matlab

A = [1, 2; 3, 4];

B = [2, 3; 4, 5];

F_dist = norm(A - B, 'fro');

```

输出结果为：

```matlab

F_dist = 2.8284

```

3. 使用谱范数计算矩阵的条件数

矩阵的条件数是用于判断矩阵在求解线性方程组时的数值稳定性的一个重要指标。其中，通过谱范数计算矩阵的条件数比较常见，其计算公式为cond(A) = ||A||_2||inv(A)||_2，其中A为矩阵，||·||_2为矩阵的谱范数。

例如，计算矩阵A=[1,2;3,4]的条件数：

```matlab

A = [1, 2; 3, 4];

cond_num = cond(A);

```

输出结果为：

```matlab

cond_num = 14.933

```

参考资料

1. MATLAB官方文档：https://ww2.mathworks.cn/help/matlab/ref/norm.html

2. 张铮等. Matlab数值计算与科学工程应用(第二版). 北京:高等教育出版社, 2014. 如果你喜欢我们三七知识分享网站的文章， 欢迎您分享或收藏知识分享网站文章 欢迎您到我们的网站逛逛喔！https://www.37seo.cn/