最小生成树之克鲁斯卡尔(kruskal)算法

一、简介

在图论中，最小生成树(Minimum Spanning Tree，简称MST)问题是一个经典的问题。克鲁斯卡尔算法是解决MST问题的一种常用算法，于1956年由克鲁斯卡尔(Kruskal)提出。该算法的时间复杂度为$O(E\log{E})$，其中E代表图中边的数量，因此克鲁斯卡尔算法是一种高效的解决MST问题的方法。

二、算法思路

克鲁斯卡尔算法的核心思想是贪心。它尝试找到最小生成树，将边按照权值从小到大排序，然后从小到大地选择边，如果这条边所连接的两个点不在同一个连通块中，就将这条边加入生成树中，直至所有的点都加入到生成数中，生成数构建完成。

具体的实现可以采用并查集数据结构来实现集合合并和判断。克鲁斯卡尔算法流程如下：

1. 将每条边按照其权值排序，形成一个按权值递增的边集合。

2. 初始化一个空集合，用于存储最终的生成树。

3. 遍历边集合中的每一条边，如果该边的两个端点在不同的集合中，那么将该边加入到生成树集合中，并将这两个集合合并。

4. 重复执行步骤3，直至所有的点都加入到生成数中。

5. 最终返回生成树集合即为最小生成树。

三、代码实现

以下是使用Python实现克鲁斯卡尔算法的函数：

```python

def kruskal(nodes, edges):

parent = {}

result = []

for node in nodes:

parent[node] = node

edges = sorted(edges, key=lambda x: x[2])

for edge in edges:

u, v, weight = edge

root_u = find(u, parent)

root_v = find(v, parent)

if root_u != root_v:

result.append(edge)

parent[root_u] = root_v

return result

def find(node, parent):

while parent[node] != node:

node = parent[node]

return node

```

其中，nodes为节点的集合，edges为边的集合，每条边由它所连接的两个节点和边的权值构成。

四、案例说明

假设有如下的带权无向图：


其中，圆圈代表节点，带箭头的线段代表边，箭头方向表示边的方向，线段上的数字表示边的权值。

我们可以通过调用kruskal算法来求得该图的最小生成树：

```python

nodes = ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G']

edges = [('A', 'B', 7), ('A', 'D', 5), ('B', 'C', 8), ('B', 'D', 9), ('B', 'E', 7), ('C', 'E', 5), ('D', 'E', 15), ('D', 'F', 6), ('E', 'F', 8), ('E', 'G', 9), ('F', 'G', 11)]

result = kruskal(nodes, edges)

```

得到的最小生成树为：


可以看出，最小生成树由7条边组成，总权值为39（注：不同的算法求得的最小生成树可能不同，但它们的权值总是相等的）。通过上述实例，我们可以深入了解克鲁斯卡尔算法的执行过程和输出结果。 如果你喜欢我们三七知识分享网站的文章， 欢迎您分享或收藏知识分享网站文章 欢迎您到我们的网站逛逛喔！https://www.37seo.cn/